Réponse à une question Compact-Complet

Soit K est un ensemble compact  (on suppose qu'il est muni d'une distance notée d)  alors il est complet.
Soit $(x_n)$ une suie de Cauchy de K.  Elle admet donc une sous-suite $(x_\phi(n))$ qui converge vers un élément $l\in\K.$
On  a donc $\forall \epsilon>0,  \exists n_\epsilon \in N, \forall n\geq n_{\epsilon}  : d(x_{\phi(n)},l)\leq \epsilon  $ (1)
D'autre part $(x_n)$ est de Cauchy donc   $\forall \epsilon>0,  \exists n'_\epsilon \in N, \forall n, p \geq n_{\epsilon}  : d(x_n,x_p)\leq \epsilon$ (2)
Maintenant on utilise $d(x_n,l)\leq d(x_n,x_{phi(n)})+ d(x_{\phi(n)}, l)$ inégalité triangulaire.  
On pose $n''_{\epsilon}=max(n_{\epsilon},n'_{\epsilon})$. Alors pour tout
n \geq n''_{\epsilon} on a \phi(n)\geq \phi(n) \geq   n_\epsilon  et on peut appliquer (1)  
et  on peut appliquer  (2)  
autrement  on  a $\forall n\geq  n''_{\epsilon} ,   d(x_n,l)\leq d(x_n,x_{\phi(n)})+ d(x_{\phi(n)}, l) \leq 2\epsilon. $
i.e  $(x_n)$ cv vers l