Dualié $l^1 l^{\infty}$
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Dualié $l^1 l^{infty}$
Bonjour
https://i.postimg.cc/d1Qp0QkM/l1.jpg
2. a Par définition de $f\in c_0^*$ on a $|f(x)|\leq ||f|| ||x||_{\infty}.$
Posons $(u_n)=\sum_{k=1} ^n \epsilon_k e(k)=(\epsilon_1,...,\epsilon_n,0,...0,0,0,0...)$ avec $\epsilon_k=1$ si $y_k\geq 0,$ et $\epsilon_k=-1$ sinon. Clairement $(u_n)\in c_0$ et $||(u_n)||_{\infty}=1.$
De plus $|f((u_n))|=|\sum_{k=1} ^n f(\epsilon_k e(k))|=|\sum_{k=1} ^n |y_k|| =\sum_{k=1} ^n |y_k| \leq ||f||\times ||(u_n)||\leq ||f||. $
On fait tendre n vers l'infini, on obtient que $y\in l^1.$
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2. a Par définition de $f\in c_0^*$ on a $|f(x)|\leq ||f|| ||x||_{\infty}.$
Posons $(u_n)=\sum_{k=1} ^n \epsilon_k e(k)=(\epsilon_1,...,\epsilon_n,0,...0,0,0,0...)$ avec $\epsilon_k=1$ si $y_k\geq 0,$ et $\epsilon_k=-1$ sinon. Clairement $(u_n)\in c_0$ et $||(u_n)||_{\infty}=1.$
De plus $|f((u_n))|=|\sum_{k=1} ^n f(\epsilon_k e(k))|=|\sum_{k=1} ^n |y_k|| =\sum_{k=1} ^n |y_k| \leq ||f||\times ||(u_n)||\leq ||f||. $
On fait tendre n vers l'infini, on obtient que $y\in l^1.$
XY19- Messages : 6
Date d'inscription : 15/03/2017
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