Réponse à une question Compact-Complet
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Réponse à une question Compact-Complet
Soit K est un ensemble compact (on suppose qu'il est muni d'une distance notée d) alors il est complet.
Soit $(x_n)$ une suie de Cauchy de K. Elle admet donc une sous-suite $(x_\phi(n))$ qui converge vers un élément $l\in\K.$
On a donc $\forall \epsilon>0, \exists n_\epsilon \in N, \forall n\geq n_{\epsilon} : d(x_{\phi(n)},l)\leq \epsilon $ (1)
D'autre part $(x_n)$ est de Cauchy donc $\forall \epsilon>0, \exists n'_\epsilon \in N, \forall n, p \geq n_{\epsilon} : d(x_n,x_p)\leq \epsilon$ (2)
Maintenant on utilise $d(x_n,l)\leq d(x_n,x_{phi(n)})+ d(x_{\phi(n)}, l)$ inégalité triangulaire.
On pose $n''_{\epsilon}=max(n_{\epsilon},n'_{\epsilon})$. Alors pour tout
n \geq n''_{\epsilon} on a \phi(n)\geq \phi(n) \geq n_\epsilon et on peut appliquer (1)
et on peut appliquer (2)
autrement on a $\forall n\geq n''_{\epsilon} , d(x_n,l)\leq d(x_n,x_{\phi(n)})+ d(x_{\phi(n)}, l) \leq 2\epsilon. $
i.e $(x_n)$ cv vers l
Soit $(x_n)$ une suie de Cauchy de K. Elle admet donc une sous-suite $(x_\phi(n))$ qui converge vers un élément $l\in\K.$
On a donc $\forall \epsilon>0, \exists n_\epsilon \in N, \forall n\geq n_{\epsilon} : d(x_{\phi(n)},l)\leq \epsilon $ (1)
D'autre part $(x_n)$ est de Cauchy donc $\forall \epsilon>0, \exists n'_\epsilon \in N, \forall n, p \geq n_{\epsilon} : d(x_n,x_p)\leq \epsilon$ (2)
Maintenant on utilise $d(x_n,l)\leq d(x_n,x_{phi(n)})+ d(x_{\phi(n)}, l)$ inégalité triangulaire.
On pose $n''_{\epsilon}=max(n_{\epsilon},n'_{\epsilon})$. Alors pour tout
n \geq n''_{\epsilon} on a \phi(n)\geq \phi(n) \geq n_\epsilon et on peut appliquer (1)
et on peut appliquer (2)
autrement on a $\forall n\geq n''_{\epsilon} , d(x_n,l)\leq d(x_n,x_{\phi(n)})+ d(x_{\phi(n)}, l) \leq 2\epsilon. $
i.e $(x_n)$ cv vers l
XY19- Messages : 6
Date d'inscription : 15/03/2017
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