Système congruences
Page 1 sur 1
Système congruences
Résoudre dans $Z / 26 Z$ en fonction de (u,v) :
$
\begin{cases}
& 2 a- b= 5 u \\
& -3 a +4 b= 5v
\end{cases}
$
La résolution dans $R$ donne (a,b)=(4 u+v,3 u+2 v). (c'est un système 2x2 ça se résout facilement)
Mais c'est aussi une solution dans $Z / 26 Z.$
Maintenant on démontre qu'il n'y en a pas d'autres.
Soit $(a',b')$ une autre solution (dans Z/ 26 Z) puisque u et v sont dans Z/26 Z
Posons a''=a-a' et b''=b-b'
alors (a'',b'') est solution de
$\begin{cases}
& 2 a''- b''= 0 \\
& -3 a'' +4 b''= 0
\end{cases}
$
En éliminant b'' on obtient -3 a''+8 a''=5 a''=0 mod 26
donc a''=0 puis b''=0. cqfd
$
\begin{cases}
& 2 a- b= 5 u \\
& -3 a +4 b= 5v
\end{cases}
$
La résolution dans $R$ donne (a,b)=(4 u+v,3 u+2 v). (c'est un système 2x2 ça se résout facilement)
Mais c'est aussi une solution dans $Z / 26 Z.$
Maintenant on démontre qu'il n'y en a pas d'autres.
Soit $(a',b')$ une autre solution (dans Z/ 26 Z) puisque u et v sont dans Z/26 Z
Posons a''=a-a' et b''=b-b'
alors (a'',b'') est solution de
$\begin{cases}
& 2 a''- b''= 0 \\
& -3 a'' +4 b''= 0
\end{cases}
$
En éliminant b'' on obtient -3 a''+8 a''=5 a''=0 mod 26
donc a''=0 puis b''=0. cqfd
XY19- Messages : 6
Date d'inscription : 15/03/2017
Page 1 sur 1
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
|
|