exo uzuawa
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exo uzuawa
Bonjour
La solution $u\in K$ vérifie la condition d'optimalité: $<\nabla J(u),v-u>\geq 0, \forall v \in K$
Posons $F=\R^p\times \R_{-}^m$ et $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2$) [avec $\lambda_2\leq 0$]
Montrons que 1.b implique u\in K.
D'abord il faut comprendre que $P_F(\lambda)=P_F(\lambda_1,\lambda_2)=(\lambda_1,\beta) $
où les composantes $(\beta_k)$ de $\beta $ sont égales aux composantes correspondantes de $(\lambda_2)_k$ si $ (\lambda_2)_k \leq 0$ où égale à 0 sinon.
Ainsi $\lambda=P_F(\lambda+ \rho( Cu -f))=P_F(\lambda_1+ \rho( C_Eu -f_E)), \lambda_2+ \rho( C_Iu -f_I))$ implique que
$C_Eu =f_E$ et selon les composantes de $(\lambda_2)_k$:
si $(\lambda_2+ \rho( C_Iu -f_I))_k < 0$ implique $(C_Eu)_k =(f_E)_k$ et $(\lambda_2)_k < 0$
sinon $\lambda_2=0$ et $( C_Iu -f_I))_k\leq 0$ .
Donc dans tous les cas conduisent donc $C_I u f_I \leq 0.$
On donc bien $u\in K.$
Maintenant
$\nabla J (u)= Au-b $ alors 1.a implique pour tout $v\in K$
$ (\nabla J(u),v-u )=(Au-b,v-u )= ( C^t \lambda, v-u )= ( \lambda, C(v-u) )$
Mais $(\lambda, C(v-u))=(\lambda_1, C_E(v-u))+(\lambda_2, C_I(v-u))$
En tenant compte de la partie précédente cela se simplifie en
$(\lambda, C(v-u))=(\lambda_2, C_F(v-u))$ et encore il ne reste que les termes où
$(\lambda_2)_k <0 $ + précisément dans la somme ceux sont des termes de la forme
$(\lambda_2)_k\times (C_i v - f_I)_k$ et qui sont positifs (car $v\in K$)
En conclusion on a $(\nabla J(u),v-u)\geq 0 $
ce qui montre que u vérifiant 1.a et 1.b est la solution du problème
La solution $u\in K$ vérifie la condition d'optimalité: $<\nabla J(u),v-u>\geq 0, \forall v \in K$
Posons $F=\R^p\times \R_{-}^m$ et $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2$) [avec $\lambda_2\leq 0$]
Montrons que 1.b implique u\in K.
D'abord il faut comprendre que $P_F(\lambda)=P_F(\lambda_1,\lambda_2)=(\lambda_1,\beta) $
où les composantes $(\beta_k)$ de $\beta $ sont égales aux composantes correspondantes de $(\lambda_2)_k$ si $ (\lambda_2)_k \leq 0$ où égale à 0 sinon.
Ainsi $\lambda=P_F(\lambda+ \rho( Cu -f))=P_F(\lambda_1+ \rho( C_Eu -f_E)), \lambda_2+ \rho( C_Iu -f_I))$ implique que
$C_Eu =f_E$ et selon les composantes de $(\lambda_2)_k$:
si $(\lambda_2+ \rho( C_Iu -f_I))_k < 0$ implique $(C_Eu)_k =(f_E)_k$ et $(\lambda_2)_k < 0$
sinon $\lambda_2=0$ et $( C_Iu -f_I))_k\leq 0$ .
Donc dans tous les cas conduisent donc $C_I u f_I \leq 0.$
On donc bien $u\in K.$
Maintenant
$\nabla J (u)= Au-b $ alors 1.a implique pour tout $v\in K$
$ (\nabla J(u),v-u )=(Au-b,v-u )= ( C^t \lambda, v-u )= ( \lambda, C(v-u) )$
Mais $(\lambda, C(v-u))=(\lambda_1, C_E(v-u))+(\lambda_2, C_I(v-u))$
En tenant compte de la partie précédente cela se simplifie en
$(\lambda, C(v-u))=(\lambda_2, C_F(v-u))$ et encore il ne reste que les termes où
$(\lambda_2)_k <0 $ + précisément dans la somme ceux sont des termes de la forme
$(\lambda_2)_k\times (C_i v - f_I)_k$ et qui sont positifs (car $v\in K$)
En conclusion on a $(\nabla J(u),v-u)\geq 0 $
ce qui montre que u vérifiant 1.a et 1.b est la solution du problème
Dernière édition par XY19 le Dim 21 Avr - 14:05, édité 1 fois
XY19- Messages : 6
Date d'inscription : 15/03/2017
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